Gedächtnisprotokoll STO09-2

Die Klausur von Herrn Drees fand am 6.10.2009 im Zeitraum von 9.00 bis 12.00 Uhr statt. Die Bearbeitungszeit war 120 Minuten. Als Hilfsmittel waren nur nicht-programmierbare Taschenrechner erlaubt. Skripte, Notizen oder Bücher waren nicht erlaubt.

Inhaltsverzeichnis 1 Mengenbeziehung 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 3 Approximation 4 Stochastische Unabhängigkeit 5 Gemeinsame Verteilungsfunktion 6 χ2-Test

[Bearbeiten] Mengenbeziehung

Seien A, B, C drei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass P(A), P(A,P(C und P(B). Berechnen Sie (möglichst scharfe) untere und obere Schranke für die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• a) P((A
• b) P(A
• c) P(A

[Bearbeiten] Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Ein fairer Würfel werde zweimail geworfen. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme höchstens 5 beträgt, und B das Ereignis, dass mindestens eine der Augenzahlen ungerade ist. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B | A) ! Sind A und B stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!

[Bearbeiten] Approximation

Bundestagswahl. Für Partei A stimmen 45%, B 35% und C 20% der Bevölkerung.Es werden 1000 Personen befragt! Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Befragten für Partei A stimmen.

• a) Geben sie eine nicht numerische Form an!
• b) Appoximieren sie!

[Bearbeiten] Stochastische Unabhängigkeit

Sei X eine {-wertige Zufallsvariable und Y eine {-wertige Zufallsvariable. In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten P{ gegeben.

	Y = 1	Y = 2	Y = 3
X = 1	0,1	0,3	a
X = 2	0,08	c	b

• a) Geben Sie für a,b,c Wahrscheinlichkeiten an, sodass X und Y stochastisch unabhängig sind.
• b) Geben Sie dann auch die Zähldichte von X und Y an!

[Bearbeiten] Gemeinsame Verteilungsfunktion

Gegen war eine gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. f_x,y(x,

• a) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
• b) Zeigen sie das die Verteilungsfunktion von X f_x(x) ist.
• x) Berechnen Sie E(X),Var(X) und Cov(X,Y).

[Bearbeiten] χ²-Test

Ein Würfel wird n = 100 mal geworfen und für 1 die Häufigkeit n_k notiert, mit der die Augenzahl k fällt.

• a) Geben SIe eine erwartungstreuen Schätzer für die erwartete Augenzahl (bei einem Wurf) an! Berechnen Sie seinen mittleren quadratischen Fehler unter der Annahme, dass der Würfel fair ist!

• b) Konkret werden die folgenden Häufigkeiten beobachtet:

k	1	2	3	4	5	6
nk	12	17	14	19	21	17

Testen Sie zum Niveau 5% die Hypothese, dass der Würfel fair ist!